L'accesso, sia in lettura che in scrittura ai cookies con ASP.NET non cambia molto rispetto all'equivalente ASP.
Tuttavia, ci sono piccoli cambiamenti necessari sopratutto in fase di visualizzazione.
Di default un cookie è contenuto come oggetto HTTPCookie, per cui è necessario procedere alla conversione utilizzando la funzione ToString() dell'oggetto, come in questo esempio:

<%
Response.write ( Request.Cookies("miocookie").Value.ToString() )
%>

Per quanto riguarda la scrittura, la cosa resta invariata per le sottochiavi.
Nel caso in cui si voglia scrivere un cookie senza chiavi, bisogna utilizzare la proprietà Value:

<%
Response.Cookies("miocookie").Value = DateTime.Now().ToString()
%>

Invece, per la scrittura di una chiave è sufficiente scrivere

<%
Response.Cookies("miocookie")("visita") = DateTime.Now().ToString()
%>

La stessa identica cosa vale per la lettura: è possibile omettere la proprietà Value.